Herleitung Coulomb 2015

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Herleitung des Coulomb'schen Gesetzes

In der letzten Stunde haben wir die influenzierte Ladung auf einer Kugelschale gemessen. Durch theoretische Überlegungen konnten wir darauf schließen, dass die Ladung Q der Kugeloberfläche genauso groß ist wie die Ladung Q der inneren Kugel:

Q_{I} = Q_{A}

Außerdem kennen wir die Formel für die Flächenladungsdichte

σ = \frac{Q}{A}

mit der Fläche einer Kugeloberfläche

A = 4 π r^{2}

ergibt sich daraus für die Flächenladungsdichte der Kugeloberfläche:

σ = \frac{Q_{A}}{4 π r^{2}}

oder

σ = \frac{Q_{I}}{4 π r^{2}}

Mit den beiden Gleichungen für die elektrische Feldstärke E:

E = \frac{F_{el}}{Q_{p}}

als Definitionsgleichung der elektrische Feldstärke und der hergeleiteten Formel

E = \frac{σ}{ϵ_{0}}

kann das Kraftgesetz für das elektrische Feld hergeleitet werden. Umstellung der Definitiongleichung liefert:

F_{el} = E \cdot Q_{p}

Einsetzen der hergeleiteten Formel für E liefert:

F_{el} = \frac{σ}{ϵ_{0}} \cdot Q_{p}

Jetzt wird noch die Flächenladungsdichte σ ersetzt, durch die Flächenladungsdichte der Kugeloberfläche:

F_{el} = \frac{Q_{I}}{4 \cdot π \cdot r^{2} \cdot ϵ_{0}} \cdot Q_{p}

Sortiert man die konstanten und die variablen Größen, so ergibt sich:

F_{el} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ϵ_{0}} \cdot \frac{Q_{p} \cdot Q_{I}}{r^{2}}

das Coulomb'sche Gesetz.

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